试题15 - 矩阵代数化简 (Simplifying Matrix Algebra)

核心目标 (Core Objective): 简化给定的矩阵表达式 C⁻¹C(BAᵀ)ᵀA⁻¹。

所应用的知识点 (Key Concepts Applied):

1. 逆矩阵的性质 (Properties of Inverse Matrix):
   • 一个可逆矩阵 (invertible matrix) A 和它的逆矩阵 A⁻¹ 相乘，结果是单位矩阵 (identity matrix) I。
   • AA⁻¹ = A⁻¹A = I
2. 单位矩阵的性质 (Properties of Identity Matrix):
   • 单位矩阵 I 在矩阵乘法中相当于数字 1。任何矩阵 M 乘以单位矩阵，结果仍是它本身。
   • IM = MI = M
3. 转置的性质 (Properties of Transpose):
   • 乘积的转置 (Transpose of a Product): 两个矩阵乘积的转置，等于它们各自转置后，顺序颠倒再相乘。
     • (XY)ᵀ = YᵀXᵀ
   • 转置的转置 (Transpose of a Transpose): 对一个矩阵连续进行两次转置，会得到原矩阵。
     • (Aᵀ)ᵀ = A
4. 矩阵乘法的不可交换性 (Non-commutativity of Matrix Multiplication):
   • 矩阵乘法不遵循交换律，即 AB ≠ BA。因此，不能随意调换矩阵的顺序进行化简。

解题步骤 (Step-by-Step Solution):

1. 原始表达式 (Original Expression):C⁻¹C(BAᵀ)ᵀA⁻¹
2. 第一步：处理 C⁻¹C
   • 根据逆矩阵的性质，C⁻¹C = I。
   • 表达式变为: I(BAᵀ)ᵀA⁻¹
3. 第二步：处理单位矩阵 I
   • 根据单位矩阵的性质，I 乘以任何矩阵都等于该矩阵本身。
   • 表达式简化为: (BAᵀ)ᵀA⁻¹
4. 第三步：处理乘积的转置 (BAᵀ)ᵀ
   • 应用乘积的转置法则 (XY)ᵀ = YᵀXᵀ。这里，X 是 B，Y 是 Aᵀ。
   • (BAᵀ)ᵀ = (Aᵀ)ᵀBᵀ
5. 第四步：处理转置的转置 (Aᵀ)ᵀ
   • 根据转置的转置性质，(Aᵀ)ᵀ = A。
   • 将上一步的结果代入，我们得到: ABᵀ
6. 第五步：组合所有部分
   • 将化简后的 ABᵀ 代回到第三步的表达式中。
   • 最终化简结果为: ABᵀA⁻¹
7. 最终检查 (Final Check):
   • 由于 Bᵀ 在 A 和 A⁻¹ 之间，我们不能再进行任何化简。

Maple/Mobius 语法转换 (Syntax Conversion):

• A ➔ A
• Bᵀ ➔ BT
• A⁻¹ ➔ Ainv
• 乘法 ➔ . (点)