第一题: 矩阵乘法 (Matrix Multiplication)

核心概念 (Core Concept): 结果矩阵 C 中的任意一个元素 Ci,j (位于第 i 行 row，第 j 列 column)，是由第一个矩阵 A 的第 i 行和第二个矩阵 B 的第 j 列通过点积 (dot product) 计算得到的。

解题步骤 (Steps):

1. 确定目标 (Identify the Target):
   • 题目要求我们找到 C4,5，也就是结果矩阵 C 的第 4 行，第 5 列的元素。
2. 定位向量 (Locate the Vectors):
   • 从矩阵 A 中，我们取出第 4 行： [7 2 3 6 6]。
   • 从矩阵 B 中，我们取出第 5 列： [8 5 6 7 9]。
3. 计算点积 (Calculate the Dot Product):
   • 将两个向量中对应位置的元素两两相乘，然后把所有乘积相加。
   • 表达式 (Expression): (7*8) + (2*5) + (3*6) + (6*7) + (6*9)
   • 计算结果 (Result): 56 + 10 + 18 + 42 + 54 = 180

关键点 (Key Takeaway): 矩阵乘法中，一个特定位置的元素，只与第一个矩阵的对应行和第二个矩阵的对应列有关。

第二题: 函数分析 (Function Analysis)

涉及概念 (Concepts Covered):

• 导数 (Derivatives)
• 值域 (Range)
• 反函数 (Inverse Functions)

解题步骤 (Steps):

(a) 求导数中的未知多项式 (Find the unknown polynomial in the derivative)

• 函数 (Function): f(x)=e(3x+1)2+(3x+1)2
• 求导 (Differentiate): 使用链式法则 (chain rule) 对函数求导。
  • f′(x)=e(3x+1)2⋅2(3x+1)⋅3+2(3x+1)⋅3
  • f′(x)=6(3x+1)e(3x+1)2+6(3x+1)
• 因式分解 (Factor): 提取公因式 6(3x+1)。
  • f′(x)=6(3x+1)[e(3x+1)2+1]
• 结论 (Conclusion): 通过与题目给出的形式 g(x)[e(3x+1)2+1] 对比，得出 g(x)=6(3x+1) 或 18x+6。

(b) 求函数在特定区间上的值域 (Find the range on a specific interval)